Modélisation en risque de crédit. Calibration et discrétisation de modèles financiers.

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Alfonsi, Aurélien (2006) Modélisation en risque de crédit. Calibration et discrétisation de modèles financiers. Doctorat, ENPC.

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Résumé

Le premier volet de cette thèse traite du marché du risque de crédit. Après un bref chapitre introductif à ce marché et à sa modélisation, nous introduisons un modèle à intensité de défaut baptisé SSRD pour Shifted Square-Root Diffusion. Ce modèle a pour qualité principale de pouvoir être automatiquement calibré aux prix des Credit Default Swaps observés sur le marché. En outre, il permet d'avoir une intensité de défaut et un taux d'intérêt dépendants entre eux. Ensuite, nous présentons une nouvelle classe de fonctions copules appelées "copules périodiques" car leur construction est basée sur des fonctions périodiques. Les copules interviennent en risque de crédit dans la modélisation jointe de plusieurs instants de défaut. Les copules périodiques permettent de balayer un large spectre de dépendances, de C- à C+ en passant par C┴ dans le cas bivarié, et s'étend facilement au cas multivarié. En outre, la simulation de ces copules est aisée.
Ensuite nous nous intéressons à la discrétisation de l'équation différentielle stochastique de Cox-Ingersoll-Ross qui intervient dans le modèle SSRD. Nous présentons de nouveaux schémas, implicites et explicites, et étudions leurs convergences forte et faible. On regarde également numériquement le comportement de ces schémas et les comparons aux schémas déjà proposés par Deelstra et Delbaen [27] et par Diop [28]. Cette étude permet d'identifier un schéma qui réunit, a priori, le plus de propriétés de convergence désirables.
La dernière partie de cette thèse concerne le marché action. Il est désormais bien connu que l'on peut, dans un modèle à volatilité locale, trouver un profil de volatilités qui calibre exactement les prix des options européennes observés. On s'intéresse ici au problème analogue pour les options américaines peut-on trouver un profil de volatilités qui donne exactement les prix des options américaines ? Pour attaquer ce problème, nous considérons le cas des options américaines perpétuelles et d'une fonction de volatilité locale homogène en temps. Nous mettons alors en évidence une relation de dualité Call-Put qui permet d'interpréter le prix d'un call comme le prix d'un put où le strike et la valeur actuelle de l'action sont intervertis. Par le biais de cette dualité, on montre qu'à un profil de volatilité correspond de manière univoque l'ensemble des prix des calls et puts américains, ce qui apporte une première réponse positive au problème de calibration.

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