Modélisation et estimation de variances hétérogènes dans les modèles non linéaires mixtes.

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Duval, Mylene (2008) Modélisation et estimation de variances hétérogènes dans les modèles non linéaires mixtes. Doctorat Mathématiques appliquées , INRA - SAGA, AgroParistech 2008AGPT0082 p.186.

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Résumé

Les modèles non linéaires occupent une place à part dans la méthodologie des modèles

mixtes. Contrairement aux modèles linéaire et linéaire généralisés qui s'apparentent souvent

à des boites noires, la fonction d'ajustement des données dans le cas non linéaire provient

en général de l'intégration d'une équation différentielle ce qui confère à ces modèles

une dimension "explicative" beaucoup plus riche et souvent plus parcimonieuse. D'autre

part, l'estimation des paramètres y est difficile du fait de l'impossibilité d'une intégration

analytique des effets aléatoires. Comme dans tous les modèles mixtes notamment ceux

appliqués aux données longitudinales, ils permettent bien de prendre en compte la variabilité

entre et intra unités expérimentales. Mais, là comme ailleurs, le statut des résidus

supposés habituellement indépendants et identiquement distribués suivant une loi normale

de variance homogène reste problématique car fréquemment irréaliste.

L'objet de ce travail était de présenter quelques possibilités de modélisation de ces variances

résiduelles qui prennent en compte la grande hétérogénéité potentielle de celles-ci,

mais dans un souci délibéré d'économie vis-à-vis du nombre de nouveaux paramètres

impliqués dans ces fonctions. C'est pourquoi, en sus de la relation classique moyenne-variance,

nous avons opté pour une approche paramétrique de type "modèle mixte" sur

les logvariances. Nous avons choisi une méthode d'inférence classique basée sur la théorie

du maximum de vraisemblance et, dans ce cadre complexe, nous avons considéré un algorithme

de type EM stochastique plus précisément l'algorithme dit SAEM-MCMC. La

structure de modèle mixte à la fois sur les paramètres de position et de dispersion se

prête particulièrement bien à la mise en oeuvre de ces algorithmes EM. La phase MCMC,

a nécessité la mise au point et le calibrage de distributions instrumentales adaptées à

cette situation ainsi que la définition de critères permettant de contrôler la convergence

de l'algorithme. Le tout a été validé numériquement dans le cadre linéaire et non linéaire

par comparaison à des algorithmes EM analytiques quand ils existaient (cas linéaire) ou

à d'autres algorithmes numériques tels ceux basés sur la quadrature de Gauss.

Ces techniques ont été illustrées par l'analyse de profils de comptage de cellules somatiques

de vaches laitières. Plusieurs modèles linéaire et non linéaires sont comparés et

montrent clairement l'intérêt d'une modélisation mixte des variances résiduelles.

Table des Matières

1 Modèles non linéaires mixtes et variances hétérogènes : éléments bibliographiques 21

1.1 Les modèles non linéaires mixtes - 21

1.1.1 Les applications - 21

1.1.2 Les modèles - 26

1.2 Variances hétérogènes : existence et modélisation - 29

1.2.1 Existence des variances hétérogènes - 29

1.2.2 Modélisation des variances résiduelles - 31

1.3 Méthodes d'estimation dans les modèles non linéaires à effets mixtes - 34

1.3.1 Méthodes de linéarisation de la vraisemblance - 35

1.3.2 Méthodes basées sur la théorie du maximum de vraisemblance . . . 37

1.3.3 Algorithme basée sur une pseudo vraisemblance - 42

1.3.4 Méthodes bayésiennes - 42

2 Quelques critéres pour calibrer les paramêtres de l'algorithme SAEM-

MCMC 45

2.1 Introduction - 48

2.2 The nonlinear mixed effects model and the SAEM-MCMC algorithm . . . 48

2.2.1 The model - 48

2.2.2 The SAEM-MCMC algorithm - 49

2.2.3 The Metropolis-Hastings algorithm - 51

2.2.4 Estimations of the log-likelihood and standard errors - 51

2.3 The criteria - 52

2.4 Application and simulation - 54

2.5 Discussion - Conclusion - 57

2.6 Acknowledgment - 58

2.7 References - 58

3 Modélisation et estimation des variances hétérogènes dans les modèles

non linéaires mixtes 67

3.1 Introduction - 70

3.2 The heteroskedastic nonlinear mixed Model - 71

3.3 A monitored SAEM-MCMC algorithm - 72

3.3.1 Computation of the ML estimations - 72

3.3.2 Estimations of the log-likelihood and standard errors - 74

3.4 Numerical applications - 75

3.4.1 Validation on a linear model: Potho and Roy's data - 75

3.4.2 Application to a non linear mixed model : growth curves in poultry 76

3.5 Discussion - Conclusion - 78

3.6 References - 80

3.7 Appendix - 82

3.7.1 The Metropolis-Hastings algorithm - 82

3.7.2 Some criteria to calibrate the parameters of the SAEM-MCMC algorithm

- 82

3.7.3 Parameters of the SAEM-MCMC algorithm used in Potho and

Roy's data analysis - 83

4 Application : modéliser les cinétiques de scores de cellules somatiques

chez les bovins laitiers 91

4.1 Introduction - 91

4.2 Matériel et Méthodes - 93

4.2.1 Les données - 93

4.2.2 Le modèle statistique - 93

4.2.3 Méthode d'estimation - 96

4.2.4 Sélection de modèles - 97

4.3 Résultats - 100

4.3.1 Etape 1 : Choix des meilleurs modèles linéaire et non linéaire homogènes - 100

4.3.2 Etape 2 : Déterminer les effets fixes et aléatoires de la fonction

moyenne - 101

4.3.3 Etape 3 : Sélection des covariables sur le vecteur moyenne - 102

4.3.4 Etape 4 : Choix du modèle de variance résiduelle - 103

4.3.5 Etapes 5 : Choix des covariables pour les paramêtres des fonctions

de variances [V4] et [V5] - 104

4.4 Discussion et conclusion - 105

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