Observateurs asymptotiques invariants: théorie et exemples.

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Bonnabel, Silvère (2007) Observateurs asymptotiques invariants: théorie et exemples. Doctorat Mathématiques et Automatique, CAS- Centre Automatique et Systèmes, ENSMP p.178.

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Résumé

Cette thèse a pour objet la construction d’estimateurs non-linéaires à base

d’observateurs asymptotiques. Dans un premier temps nous développons un observateur

destiné à estimer des concentrations en réactifs dans un réacteur de polymérisation du

groupe TOTAL. Dans un deuxième temps, nous nous posons des questions d’ordre plus

théorique sur l’utilisation des symétries dans la conception d’observateurs non-linéaires.

Le réacteur que nous avons considéré est un réacteur de polymérisation haute pression

qui produit des polymères de type plastique composés de deux ou trois monomères. L’estimation

des concentrations en certains réactifs dans les différentes zones du réacteur repose

sur la modélisation de la réaction. Le modèle consiste principalement un bilan de matière,

d’énergie, et l’utilisation de modèles de cinétique chimique. Ensuite via les équations du

modèle et les mesures de températures et débits, on remonte aux concentrations en temps

réel. L’estimateur construit est non-linéaire, et la convergence repose sur une structure

triangulaire. Cet estimateur a été installé et validé sur l’unité industrielle.

La convergence de l’estimateur envisagé est indépendante du choix des unités dans

lesquelles on écrit les bilans. Nous nous sommes interrogés sur la possibilité, quand on

fait un observateur pour les concentrations, d’écrire des termes de correction indépendants

des unités. A cet effet nous avons considéré un exemple plus académique : un réacteur

chimique exothermique, pour lequel on mesure les températures et les débits, et où la

cinétique chimique est d’ordre 1. On veut estimer certaines concentrations, et l’on souhaite

que les propriétés de convergence soient indépendantes des unités. Cette étude a montré

qu’une approche basée sur les symétries pouvait suggérer des termes de correction nonlinéaires

puis des changements de variables propices à l’étude de la convergence globale,

pour des observateurs dont la forme est du type observateur de Luenberger ou filtre Kalman

Etendu.

Ensuite, nous avons développé une méthode générale pour écrire de manière systématique

les termes de corrections qui préservent les symétries. La contribution théorique

principale de la thèse est de donner une méthode pour construire tous les termes de corrections

non-linéaires qui préservent les symétries. On remet ensuite en perspective la

notion d’erreur entre l’état et son estimée en proposant la notion d’erreur invariante. La

dynamique de cette erreur invariante possède alors des propriétés fort intéressantes. En

particulier, elle est indépendante de la trajectoire du système pour un système invariant à

gauche sur un groupe de Lie. On applique alors cette nouvelle théorie des observateurs invariants

à principalement trois exemples, un réacteur chimique pour lequel on construit un

observateur globalement convergent, un exemple de voiture non-holonome où l’on construit

un observateur presque globalement convergent, et un exemple emprunté au domaine de

la navigation inertielle aidée par des mesures de vitesse pour lequel on obtient la convergence

locale autour de toute trajectoire et tel que le comportement global de l’erreur est

indépendant de la trajectoire et des entrées.

Bien que nous n’ayons abordé en détail que les situations où la dimension du groupe

reste inférieure à celle de l’état, il est très naturel d’envisager de traiter avec une approche

analogue des cas plus généraux. Tel est l’objet de la dernière partie de la thèse avec quatre exemples. La synthèse d’observateur réduit pour une classe de système Lagrangien dont on

mesure la position : le groupe de transformation est celui des changements de coordonnées

sur l’espace de configuration. Les modèles de type Saint-Venant qui interviennent dans les

modèles océanographiques : l’espace d’état est de dimension infinie car les modèles sont

à base d’équations aux dérivées partielles. La fusion de données en navigation inertielle

avec comme mesure une image et donc une sortie de dimension infinie. Enfin, l’estimation

paramétrique d’un système quantique à deux états où la dimension du groupe est un peu

plus grande que celle de l’état.

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