Modélisation et étude numérique des vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces imparfaites : application aux cymbales.

Accueil || Parcours || Recherche || S'enregistrer || Mon Compte || Contacts || Aide || Langues

Camier, Cédric (2009) Modélisation et étude numérique des vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces imparfaites : application aux cymbales. Doctorat Mécanique, Unité de Mécanique de l'ENSTA, EP/X p.176.

Plein texte disponible en tant que : - These_CedricCamier.pdf ( 25951 Kb )

Licence: Copyright

Résumé

En mode normal de jeu, les instruments de percussion de la famille des gongs et des cymbales sont soumis à de fortes sollicitations qui imposent à ces structures minces un mouvement de grande amplitude (non-linéarité géométrique), siège d'une phénoménologie

complexe : dépendance des fréquences avec l'amplitude, sauts, hystérésis, transferts d'énergie entre modes, vibrations

chaotiques. Dans le but de raffiner la modélisation de ces

comportements, le premier point de ces travaux se concentre sur l'influence d'imperfections géométriques. Le modèle de vibration de plaque circulaire parfaite (von karman), en condition de bord libre, a ainsi été modifié de manière à pouvoir formuler analytiquement les nouveaux termes linéaires et non-linéaires. L'étude s'enrichit d'une analyse détaillée de l'influence de défauts de forme typiques décrivant l'effet drastique d'imperfections d'amplitude très petite sur les caractéristiques

vibratoires (fréquences propres et tendances de non-linéarité

notamment). Le modèle est confronté à des analyses expérimentales effectuées sur des coques de laboratoire. La comparaison offre d'excellents résultats alors que les études minutieuses de convergence révèlent l'influence d'autres types d'imperfections au sein des coques testées.

Le second point a trait à l'étude numérique de la transition vers le chaos, observée lorsqu'une cymbale est excitée harmoniquement avec une force d'amplitude croissante. Les travaux menés ont abouti à la définition d'un schéma numérique conservant l'énergie, adapté à la formulation modale de la dynamique de la plaque imparfaite. Une étude complète des performances d'une large panoplie d'intégrateurs temporels, incluant le schéma développé, a été menée avec succès sur un oscillateur de Duffing~; elle révèle que les états limites trouvés par certains intégrateurs, aux temps longs et pour des régimes très fortement non-linéaires, diffèrent qualitativement de ceux obtenus par les schémas structurellement conservatifs. L'extension au cas à plusieurs degrés de liberté est entamée.

Références Bibliographiques

[1] M. Amabili. A comparison of shell theories for large-amplitude vibrations of circular cylindrical

shells : Lagragian approach. Journal of Sound and Vibration, 264 :1091-1125,

2003.

[2] M. Amabili. Theory and experiments for large-amplitude vibrations of empty and fluid-

filled circular cylindrical shell with imperfections. Journal of Sound and Vibration,

262(4) :921-975, 2003.

[3] M. Amabili. Theory and experiments for large-amplitude vibrations of circular cylindrical

panel with geometric imperfections. Journal of Sound and Vibration, 298 :43-72, 2006.

[4] M. Amabili. Theory and experiments for large-amplitude vibrations of rectangular plates

with geometric imperfections. Journal of Sound and Vibration, 291(3-5) :539-565, 2006.

[5] M. Amabili. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. Cambridge University

Press, 2008.

[6] M. Amabili and M. P. Païdoussis. Review of studies on geometrically non-linear vibrations

and dynamics of circular cylindrical shells and panels, with and without fluid-structure

interactions. ASME Applied Mechanics Review, 56(4) :349-381, 2003.

[7] J.H. Argyris and G. Faust. An Exploration of Chaos. Broché, 1994.

[8] F. Armero and I. Romero. On the formulation of high-frequency dissipative time-stepping

algorithms for nonlinear dynamics. part I : low-order methods for two model problems

and nonlinear elastodynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,

190 :2603-2649, 2000.

[9] J.L. Batoz, K.J. Bathe, and L.W. Ho. A study of three-node triangular plate bending

elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 15(12) :1771-1812,

1980.

[10] S. Bilbao. Conservative numerical schemes for the dynamical von karman plate equations.

Numerical Methods for Partial Differential Equations, 24(1) :193-216, 2008. Sous presses.

[11] J.C. Butcher. Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, 2003.

[12] C. Camier, C. Touzé, and O. Thomas. Effet des imperfections géométriques sur les vibrations

non-linéaires de plaques circulaires minces. In Proc of 18ème Congrès Français de

Mécanique, Grenoble, France, August 2007.

[13] C. Camier, C. Touzé, and O. Thomas. Non-linear vibrations of imperfect free-edge circular

plates and shells. European Journal of Mechanics, A/Solids, 28: 500-515, 2009

2008.

[14] C. S. Chen, W. S. Cheng, and A. H. Tan. Non-linear vibration of initially stressed plates

with initial imperfections. Thin-Walled Structures, 43 :33-45, 2005.

[15] C. Y. Chia. Nonlinear analysis of plates. McGraw-Hill, New-York, 1980.

[16] A. P. Coppa. Measurement of initial geometrical imperfection of cylindrical shells. AIAA

Journal, 4(1) :172-175, 1966.

[17] M. Crouzeix and A. L. Mignot. Analyse numérique des équations différentielles. Masson,

1992.

[18] E.J. Doedel, R. Paffenroth, A.R. Champneys, T.F. Fairgrieve, Y.A. Kuznetsov, B.E. Oldeman,

B. Sandstede, and X. Wang. Auto 2000 : Continuation and bifurcation software for

ordinary differential equations. Technical report, Concordia University, 2002.

[19] L. H. Donnell. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression

and bending. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 56 :795-806,

1934.

[20] L. H. Donnell. Beams, Plates and Shells. McGraw-Hill, New-York, 1976.

[21] R. Van Dooren and H.Janssen. A continuation algorithm for discovering new chaotic

motions in forced Duffing system. Journal of Computational and Applied Mathematics,

66 :527-541, 1996.

[22] E. H. Dowell. Comments on the nonlinear vibrations of cylindrical shells. Journal of Fluids

and Structures, 12(8) :1087-1089, 1998.

[23] E.H. Dowell and C. Pezeshki. On the understanding of chaos in Duuffing's equation including

a comparison with experiment. Journal of Applied Mechanics, 53(5), 1986.

[24] G. J. Efstathiades. A new approach to the large-deflection vibrations of imperfect circular

disks using Galerkin's procedure. Journal of Sound and Vibration, 16(2) :231-253, 1971.

[25] T. Fang and E.H. Dowell. Numerical simulation of periodic and chaotic responses in stable

Duffing system. International Journal of Non-linear Mechanics, 22(5) :401-425, 1987.

[26] K. Feng. Difference schemes for Hamiltonian formalism and symplectic geometry. J.

Comput. Math., 4 :279-289, 1986.

[27] Z. Ge and J.E. Marsden. Lie-Poisson Hamilton-Jacobi theory and Lie-Poisson integrators.

Physics Letters A, 133(3) :134-139, 1988.

[28] Z.M. Ge and C.Y. Ou. Chaos in a fractional order modified Duffing system. Chaos, Solitons

& Fractals, 34 :262-291, 2007.

[29] C.W. Gear. Numerical Initial valuer Problems in ordinary Differential Equations. 1971.

[30] P. B. Gonçalves. Axisymmetric vibrations of imperfect shallow spherical caps under pressure

loading. Journal of Sound and Vibration, 174(2) :249-260, 1994.

[31] M. Géradin and D. Rixen. Théorie des vibrations, application à la dynamique des structures.

Masson, 1996.

[32] U. S. Gupta, R. Lal, and S. Sharma. Vibration of non-homogeneous circular mindlin plates

with variable thickness. Journal of Sound and Vibration, 302 :1-17, 2007.

[33] E. Hairer, C. Lubich, and G. Wanner. Geometric numerical integration, structurepreserving

schemes for ordinary differential equations. Springer, 2006.

[34] E. Hairer, S.P. Nörsett, and G. Wanner. Solving ordinary differential equations I : non-stiff

problems. Springer, 1993.

[35] E. Hairer and G. Wanner. Solving ordinary differential equations II : stiff and differentialalgebraic

problems. Springer, 1996.

[36] D. Hui. Large-amplitude axisymmetric vibrations of geometrically imperfect circular plates.

Journal of Sound and Vibration, 2(91) :239-246, 1983.

[37] D. Hui. Large-amplitude vibrations of geometrically imperfect shallow spherical shells with

structural damping. AIAA Journal, 21(12) :1736-1741, 1983.

[38] D. Hui and A. W. Leissa. Effects of uni-directional geometric imperfections on vibrations

of pressurized shallow spherical shells. International Journal of Non-linear Mechanics,

18(4) :279-285, 1983.

[39] R. Jeltsch and O. Nevanlinna. Stability of explicit time discretizations for solving initial

value problems. Numerical Mathematics, 37 :55-68, 1981.

[40] C. Kane, J.E. Marsden, and M. Ortiz. Symplectic-energy-momentum preserving variational

integrators. Journal of Mathematical Physics, 40(7) :3353-3371, 1999.

[41] C. Kane, J.E. Marsden, M. Ortiz, and M. West. Variational integrators and the Newmark

algorithm for conservative and dissipative mechanical systems. Int. J. for numerical

methods in Engineering, 49 :1295-1325, 2000.

[42] W. T. Koiter. The effect of axisymmetric imperfections on the buckling of cylindrical

shell under axial compression. Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van

Wetenschappen, 66 :265-279, 1963. Serie B.

[43] U. Kronman. Steel Pan Tuning - a Handbook for Steel Pan Making and Tuning. Musikmuseet,

1991.

[44] V. D. Kubenko and P. S. Koval'chuk. Influence of initial geometric imperfections on the

vibrations and dynamic stability of elastic shells. International Applied Mechanics, 40 :847-

877, 2004.

[45] K.A. Legge and N.H. Flechter. Nonlinearity, chaos, and the sound of shallow gongs. Journal

of Acoustic Society of America, 86(6) :2439-2443, 1989.

[46] C. C. Lin and L. W. Chen. Large-amplitude vibration of an initially imperfect moderatly

thick plate. Journal of Sound and Vibration, 135(2) :213-224, 1989.

[47] P. Manneville. Instabilités, Chaos et Turbulence. Les éditions de l'école Polytechnique,

2004.

[48] L. Meirovitch. Analytical methods in vibrations. Macmillian Publishing Co., 1967.

[49] R.E. Mickens. Construction of finite difference schemes for coupled nonlinear oscillators

derived from a discrete energy function. Journal of Difference Equations and Applications,

2(3) :185-193, 1996.

[50] R.E. Mickens. A non-standart finite-diffrence scheme for conservative oscillators. Journal

of Sound and Vibration, 240(3) :587-591, 2000.

[51] R.E. Mickens. A numerical integration technique for conservative oscillators combining

nonstandard finite-difference methods with hamilton's principle. Journal of Sound and

Vibration, 285(3) :477-482, 2005.

[52] F.C. Moon. Chaotic vibrations. An introduction for applied scientists and engineers. John

Wiley & sons, 1987.

[53] H. J.-P. Morand and R. Ohayon. Fluid structure interaction. J. Wiley & sons, 1995.

[54] D.E. Musielak, Z.E. Musielak, and J.W. Benner. Chaos and routes to chaos in coupled

Duffing oscillators with multiple degrees of freedom. Chaos, Solitons and fractals, 24 :907-

922, 2005.

[55] A. H. Nayfeh. Nonlinear interactions : analytical, computational and experimental methods.

Wiley series in nonlinear science, New-York, 2000.

[56] A. H. Nayfeh and D. T. Mook. Nonlinear oscillations. John Wiley & sons, New-York,

1979.

[57] A. H. Nayfeh, J. F. Nayfeh, and D. T. Mook. On methods for continuous systems with

quadratic and cubic nonlinearities. Nonlinear Dynamics, 3 :145-162, 1992.

[58] L. Noels. Contribution aux algorithmes d'intégration temporelle conservant l'énergie en

dynamique non-linéaire des structures. PhD thesis, Université de liège, faculté des sciences

appliquées, 2004.

[59] G. L. Ostiguy and S. Sassi. Effects of initial geometric imperfections on dynamic behaviour

of rectangular plates. Non-linear Dynamics, 3 :165-181, 1992.

[60] K. A. V. Pandalai and M. Sathyamoorthy. On the modal equations of large amplitude

flexural vibration of beams, plates, rings and shells. International Journal of Non-linear

Mechanics, 8(3) :213-218, 1973.

[61] U. Parlitz and W. Lauterborn. Superstructure in the bifurcation set of the Duffing equation.

Physics letters, 107(8), 1985.

[62] G. Prathap and K. A. V. Pandalai. The role of median surface curvature in large amplitude

flexural vibrations of thin shells. Journal of Sound and Vibration, 60(1) :119-131, 1978.

[63] N. Quaegebeur. Vibrations non-linéaires et rayonnement acoustique de structures minces

de type haut-parleur. PhD thesis, École Nationale Supérieure des Techniques Avancées ,

École Polytechnique, 2007.

[64] A. Raman and C. D. Mote Jr. Effects of imperfection on the non-linear oscillations of

circular plates spinning near critical speed. International Journal of Non-linear Mechanics,

36 :261-289, 2001.

[65] A. Rosen and J. Singer. Effect of axisymmetric imperfections on the vibrations of cylindrical

shells under axial compression. AIAA Journal, 12 :995-997, 1974.

[66] A. Rosen and J. Singer. Effect of asymmetric imperfections on the vibrations of axially

compressed cylindrical shells. Israel Journal of Technology, 14 :23-36, 1976.

[67] T.D. Rossing, A. Morrison, U. Hansen, F. Rohner, and S. Schärer. Acoustics of the hang :

A hand-played steel instrument. In ISMA, 2007.

[68] R.D. Ruth. A canonical integration technique. IEEE Trans. Nuclear Science, 30 :2669-

2671, 1983.

[69] J.M. Sanz-Serna. Symplectic integrators for Hamiltonian problems : an overview. Acta

Numerica, 1 :243-286, 1992.

[70] J.M. Sanz-Serna and M.P. Calvo. Numerical Hamiltonian problems. Chapman & Hall,

1994.

[71] R. Seydel. Pratical bifurcation and stability analysis. From equilibrium to chaos. Springer-

Verlag, 1994.

[72] L.F. Shampine and M.W. Reichelt. The matlab ode suite. SIAM Journal on Scientifc

Computing, 18(1) :1-22, 1997.

[73] D. K. Shin. Large amplitude free vibration behavior of doubly curved shallow open shells

with simply supported edges. Computers and Structures, 62(1) :35-49, 1997.

[74] J. C. Simo, N. Tarnow, and K. K. Wong. Exact energy-momentum conserving algorithms

and symplectic schemes for nonlinear dynamics. Computer Methods in Applied Mech. and

Eng., 100 :63-116, 1992.

[75] J.C. Simo and N. Tarnow. The discrete energy-momentum method. conserving algorithms

for nonlinear elastodynamics. Z. Angew. Math. Phys., 43 :757-792, 1992.

[76] J.C. Simo and N. Tarnow. A new energy and momentum conserving algorithm for the

non-linear dynamics of shells. Int. J. for Numerical Meth. in Engnrg, 37 :2527-2549, 1994.

[77] S. Sridhar, D.T. Mook, and A.H. Nayfeh. Non-linear resonances in the forced responses

of plates, part I : symmetric responses of circular plates. Journal of Sound and Vibration,

41(3) :359-373, 1975.

[78] S. Sridhar, D.T. Mook, and A.H. Nayfeh. Non-linear resonances in the forced responses of

plates, part II : asymmetric responses of circular plates. Journal of Sound and Vibration,

59(2) :159-170, 1978.

[79] O. Thomas. Analyse et modélisation de vibrations non-linéaires de milieux minces élastiques,

application aux instruments de percussion. PhD thesis, Université Pierre et Marie

Curie, Paris, France, 2001. In french.

[80] O. Thomas. Vibrations non-linéaires de calottes sphériques minces. Expériences et modé-

lisation. Rapport de Post-Doctorat, 2003.

[81] O. Thomas and S. Bilbao. Geometrically non-linear flexural vibrations of plates : inplane

boundary conditions and somesymmetry properties. Journal of Sound and Vibration,

315(3) :569-590, 2008.

[82] O. Thomas, L. Nicu, C. Ayela, and C. Touzé. Bucling and non-linear vibrations of a mems

biosensor. In proc. of Euromech Non-linear Dynamics Conference (ENOC 2008), Saint

Petersburg, June 2008.

[83] O. Thomas, C. Touzé, and A. Chaigne. Non-linear behavior of gongs through the dynamic of

simple rods systems. In Proceedings of the International Symposium on Musical Acoustics,

pages 173-178, Perugia, Italy, September 2001.

[84] O. Thomas, C. Touzé, and A. Chaigne. Asymmetric non-linear forced vibrations of free-edge

circular plates, part II : experiments. Journal of Sound and Vibration, 265(5) :1075-1101,

2003.

[85] O. Thomas, C. Touzé, and A. Chaigne. Non-linear vibrations of free-edge thin spherical

shells : modal interaction rules and 1:1:2 internal resonance. International Journal of Solids

and Structures, 42(11-12) :3339-3373, 2005.

[86] O. Thomas, C. Touzé, and É. Luminais. Non-linear vibrations of free-edge thin spherical

shells : experiments on a 1:1:2 internal resonance. Non-linear Dynamics, 49(1-2) :259-284,

2007.

[87] J.J. Thomsen. Vibrations and stability. Springer, 2003.

[88] S. A. Tobias. A theory of imperfection for the vibration of elastic bodies of revolution.

Engineering, 172 :1409-420, 1951.

[89] S. A. Tobias. Free undamped non-linear vibrations of imperfect circular disks. Proc. of the

Instn. of Mech. Eng., 171 :691-700, 1957.

[90] S. A. Tobias and R. N. Arnold. The influence of dynamical imperfection on the vibration

of rotating disks. Proc. of the Instn. of Mech. Eng., 171 :669-690, 1957.

[91] S.A. Tobias. Free undamped non-linear vibrations of imperfect circular disks. PRoc. Inst.

Mech .Eng, page 691 700, 1957.

[92] C. Touzé, C. Camier, G. Favraud, and O. Thomas. Effect of imperfections and damping

on the type of non-linearity of circular plates and shallow spherical shells. Mathematical

Problems in Engineering, ID 678307 :19 pages, 2008.

[93] C. Touzé and O. Thomas. Type of non-linearity of shallow spherical shells using non-linear

normal modes. In proc. of Fifth Euromech Non-linear Dynamics Conference (ENOC 2005),

pages 852-861, Eindhoven, August 2007.

[94] C. Touzé. Analyse et modélisation de signaux vibratoires et acoustiques chaotiques. Application

aux instruments de percussions non-linéaires. PhD thesis, Université de paris VI,

2000.

[95] C. Touzé and M. Amabili. Nonlinear normal modes for damped geometrically non-linear

systems : application to reduced-order modelling of harmonically forced structures. Journal

of Sound and Vibration, 298(4-5) :958-981, 2006.

[96] C. Touzé, C. Camier, and O. Thomas. Type of non-linearity of damped imperfect plates

using non-linear normal modes. In proc. of Euromech of Non-linear Dynamics Conference

(ENOC2008), Saint Petersburg, June 2008.

[97] C. Touzé and O. Thomas. Non-linear behaviour of free-edge shallow spherical shells : effect

of the geometry. International Journal of Non-linear Mechanics, 41(5) :678-692, 2006.

[98] C. Touzé, O. Thomas, and A. Chaigne. Asymmetric non-linear forced vibrations of freeedge

circular plates, part I : theory. Journal of Sound and Vibration, 258(4) :649-676,

2002.

[99] C. Touzé, O. Thomas, and A. Chaigne. Asymmetric non-linear forced vibrations of freeedge

circular plates, part I : theory. Journal of Sound and Vibration, 258(4) :649-676,

2002.

[100] C. Touzé, O. Thomas, and A. Chaigne. Hardening/softening behaviour in non-linear oscillations

of structural systems using non-linear normal modes. Journal of Sound and

Vibration, 273(1-2) :77-101, 2004.

[101] Y. Ueda. Survey of regular and chaotic phenomena on the forced Duffing oscillator. Chaos,

Solitons & Fractals, 1 :199-231, 1991.

[102] P. Verpeaux, T. Charras, and A. Millard. Calcul des structures et intelligence artificielle,

chapter castem 2000 : Une approche moderne du calcul des structures. Pluralis, ed.,

Paris, http ://www-cast3m.cea.fr, 1988. In french.

[103] G.Wanner. Equations différentielles raides. In J. Baranger : Analyse numérique. Hermann,

1991.

[104] J.Wendlandt and J. E. Marsden. Mechanical integrators derived from a discrete variational

principle. Physica D, 106 :223-246, 1997.

[105] Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos. Springer,

2003.

[106] C.J.H. Williams and S.A. Tobias. Forced undamped non-linear vibrations of imperfect

circular discs. Journal of Mech. Eng. science, 5 :645-680, 1963.

[107] N. Yamaki. Influence of large amplitudes on flexural vibrations of elastic plates. ZAMM,

41(12) :501-510, 1961.

[108] N. Yamaki, K. Otomo, and M. Chiba. Non-linear vibrations of a clamped circular plate

with initial deflection and initial edge displacement, part I : Theory. Journal of Sound and

Vibration, 79 :23-42, 1981.

[109] N. Yamaki, K. Otomo, and M. Chiba. Non-linear vibrations of a clamped circular plate

with initial deflection and initial edge displacement, part II : Experiment. Journal of Sound

and Vibration, 79 :43-59, 1981.

[110] C. Camier, Modélisation et étude numérique des vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces imparfaites : application aux cymbales, PhD thesis, École Nationale Supérieure des Techniques Avancées , École Polytechnique, 2009.

Table des Matières

Chapitre 1 Introduction 1

1.1 Applications de l'étude

1.1.1 Applications musicales

1.1.2 Applications industrielles

1.2 Cadre de l'étude

1.2.1 Vibrations non-linéaires de coques

1.2.2 Modèles récents

1.2.3 Modèle étendu et organisation du manuscrit



I Effet des imperfections géométriques sur les vibrations non-linéaires de

plaques circulaires minces



Chapitre 2 Imperfections géométriques

2.1 Introduction

2.2 Expérience sur une coque de laboratoire

2.3 Comparaison au modèle de coque sphérique mince

2.3.1 Comparaison sur les modes propres

2.3.2 Quelques éléments de comparaison sur des coefficients non-linéaires .

2.4 Autres exemples de la littérature

Chapitre 3 Modèle de plaque circulaire imparfaite

3.1 Équations non-linéaires des plaques circulaires minces parfaitement planes

3.1.1 Hypothèses

3.1.2 Équations locales

3.1.3 Conditions aux limites

3.1.4 Adimensionnement

3.1.5 Projection modale

3.2 Équations non-linéaires des plaques circulaires minces imparfaites

3.2.1 Définition du défaut de forme

3.2.2 Ajout d'un défaut dans les équations locales du cas parfait

3.2.3 Projection modale

3.2.4 Diagonalisation du problème

3.2.5 Discussion et introduction aux études de convergence

Chapitre 4 Application à quelques défauts de forme

4.1 Introduction

4.2 Calcul de la tendance de non-linéarité

4.3 Cas d'un défaut de forme sphérique

4.3.1 Comparaison théorique avec le modèle de coque sphérique mince

4.3.2 Comparaisons des résultats entre différents modèles analytiques

4.4 Cas de défauts axisymétriques

4.4.1 Introduction

4.4.2 Imperfection de la forme du mode (0,1)

4.4.3 Imperfection de la forme du mode (0,2)

4.5 Cas de défauts asymétriques

4.5.1 Imperfection de la forme du mode (2,0)

4.5.2 Imperfection de la forme du mode (3,0)

4.6 Conclusion sur les cas d'imperfections de formes données

Chapitre 5 Cas de coques de laboratoire

5.1 Introduction

5.2 Mesure de la géométrie

5.3 Projection géométrique

5.4 Comparaison sur les fréquences propres

5.5 Comparaisons dans le domaine non-linéaire

5.5.1 Cas d'une résonance interne 1:1: 2

5.5.2 Coefficients quadratiques

5.6 Mise en évidence de l'erreur de projection

5.7 Prise en compte de cette erreur. Retour sur les résultats.

5.7.1 Nouveaux résultats sur les coefficients non-linéaires et développements

5.7.2 Influence des coefficients cubiques

5.7.3 Résultats sur d'autres coques de laboratoire

5.8 Discussion



II Étude numérique de la transition vers le chaos



Chapitre 6 Introduction

6.1 Expérience à reproduire

6.1.1 Protocole de mesure

6.1.2 Observations

6.1.3 Stratégie

6.2 Rappel sur la dynamique à intégrer

6.2.1 Équations

6.2.2 Difficultés numériques

Chapitre 7 Schémas numériques

7.1 État de l'art

7.2 Définition de quelques opérateurs aux différences finies

7.3 Quelques propriétés sur les intégrateurs temporels numériques

7.3.1 Consistance

7.3.2 Stabilité

7.3.3 Convergence

7.3.4 Ordre

7.4 Méthodes de Runge-Kutta

7.5 Méthodes multi-pas

7.5.1 Méthodes d'Adams

7.5.2 Méthodes des di_érentiations rétrogrades

7.6 Méthode de Störmer-Verlet

Chapitre 8 Schémas conservatifs

8.1 Propriété des systèmes Hamiltoniens

8.1.1 Définition du Hamiltonien

8.1.2 Propriété de symplecticité

8.2 Exemple de l'oscillateur de Duffing

Chapitre 9 Application à un oscillateur de Duffing

9.1 Expériences numériques tests

9.2 Écriture des différentes méthodes

9.2.1 Méthode de Störmer-Verlet

9.2.2 Méthodes de Runge-Kutta explicites

9.2.3 Méthode des différentiations rétrogrades

9.2.4 Implémentation

9.3 Comparaison des simulations

9.3.1 Cas d'une excitation harmonique à faible amplitude

9.3.2 Cas d'une excitation harmonique à forte amplitude

9.3.3 Cas particulier d'un diagramme de bifurcation jusqu'un forçage très

élevé

9.3.4 Cas d'une excitation impulsionnelle

Chapitre 10 Application au système à N degrés de liberté

10.1 Énergie continue dérivée des équations modales de plaques imparfaites

10.2 Construction du schéma conservatif appliqué à la dynamique des plaques imparfaites

10.3 Implémentation

10.4 Résultats dans le cas d'un flot autonome

10.4.1 Expérience numérique test

10.4.2 Méthode de Störmer-Verlet

10.4.3 Méthode conservative

Chapitre 11 Conclusions générales et perspectives

11.1 Étude de l'effet du défaut de forme

11.1.1 Principaux résultats

11.1.2 Applications

11.1.3 Perspectives

11.2 Intégrateurs numériques

11.2.1 Principaux résultats

11.2.2 Premières conclusions et suite des travaux



Bibliographie



Annexe A Variation de l'épaisseur sur le pourtour de la coque 3

Annexe B Imperfections de la forme de cymbales

Statistiques de consultation

Administrateurs de l'archive uniquement : éditer cet enregistrement