Utilités Progressives Dynamiques.

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M'rad, Mohamed (2009) Utilités Progressives Dynamiques. Doctorat MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES.

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Résumé

En 2002, Marek Musiela et Thaleia Zariphopoulo ont introduit la

notion de {\em forward utility}, c'est à dire une utilité dynamique,

progressive, cohérente avec un marché financier donné. On peut

voir ce processus comme un champ aléatoire $U(t,x)$ adapté à

l'information disponible, qui a chaque instant est une utilité

standard (donc en particulier à la date $0$, compatible avec une

famille de stratégies données $(X^{\pi})$ au sens où pour tout

$t,h>0$, $ \mathbb{E}(U(t+h,X^{\pi}_{t+h})|\mathcal{F}_t)\leq U(t,X^{\pi}_t)$

et il existe un portefeuille optimal $X^*$ pour lequel

l'inégalité est une égalité.\\

Les auteurs ont fait plusieurs articles sur ce sujet,

montrant en particulier comment les utilités classiques,

puissance, exponentielle, etc doivent être modifiées pour être des

utilités dynamique progressives. Une attention limitée a été portée

à l'univers d'investissement.



\noindent

Dans mon travail de thèse, je considère un cadre beaucoup plus général. En effet, le marché est incomplet dans le sens où

un investisseur est contraint, à chaque date $t\ge 0$, de

choisir ces stratégies admissibles dans des cones convexes fermés, adaptés $\K_t (X_t)$ dépendent du niveau de sa richesse $X_t$.

Je considère par la suite que les champs aléatoires $U(t,x)$ évoluent selon la dynamique

\begin{equation}\label{eq:champ}

dU(t,x)=\beta(t,x)+\Gamma(t,x) dW_t,~U(0,.)=u(.) (\text{donnée})

\end{equation}

Comme dans l'optimisation classique, (dite rétrograde puisqu'on

reconstruit l'information à partir de la fin), %je montre que le terme

%$\beta(t,x)$ contient, contient nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique

%modifié par la présence de la dérivée de la volatilité

%$\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui

% satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell

% satisfait

je me propose d'étudier les équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman que satisfait une utilités progressive $u(t,x)$.

Pour mener cette étude, j'utilise une formule d'Itô généralisée apellée la formule de Ventzell-Friedlin, qui permet d'établir la décomposition de type

Itô de la composée d'un champ aléatoire avec un processus d'Itô. Je montre alors que le terme

$\beta(t,x)$ contient, nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique

modifié par la présence de la dérivée de la volatilité

$\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui

satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell satisfont l' équation différentielle stochastique suivante

\begin{equation}\label{EDPSU}

dU(t,x)=\Big\{-xU'_{x}\, r_t dt+ \frac{1}{2U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big) \|^2\Big\}(t,x)\,dt\>+\Gamma(t,x)\,dW_t.

\end{equation}

avec comme portefeuille optimal $X^*$ le processus associé à la stratégie $\pi^*$ donnée par

\begin{equation}

x\pi^*(t,x)\sigma_t=- \frac{1}{U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big)(t,x)

\end{equation}



\noindent

où $r$ est le taux court, $\eta$ la prime de marché, $\sigma$ la matrice de variance covariance des actifs et $ \prod_{\K_t(x)\sigma_t}$ désigne l'opérateur

de projection sur le cône $\K_t(x)\sigma_t$. \\

Ce point de vue permet de vérifier que le champ aléatoire, s'il

existe est compatible avec l'univers d'investissement. Cependant, la

question de la convexité et de la monotonie est complexe a priori,

car il n'existe pas de théorèmes de comparaison pour les équations

progressives (qui sont {\em forward}), contrairement au cas des équations rétrogrades. La

question de l'interprétation et du rôle de la volatilité s'avère alors être

centrale dans cette étude.



Contrairement au cadre général que je considère ici, M.Musiela et T.Zariphopoulo, puis C.Rogers et al se sont restreint au

cas où la volatilité de l'utilité est identiquement nulle. Le

processus progressif $u(t,x)$ est alors une fonction déterministe

satisfaisant une EDP non linéaire, que les auteurs ont transformé

en solution harmonique espace temps de l'équation de la chaleur. \\

Mon choix a été d'étudire la question de la volatilité par

des techniques de changement de numéraire; ainsi, je montre la stabilité de la notion d'utilité progressive par changement de numéraire.

L'avantage considérable de cette technique, comparée à la méthode classique, % Comme dans le cas

% classique, le problème est compliqué par le fait que l'espace des

% contraites n'est pas invariant par changement de numéraire.

est le fait qu'elle permet de se ramener toujours à un marché "martingale" ($r=0$ et $\eta=0$),

ce qui simplifie considérablement les équations et les calculs. La dérivée

de la volatilité apparaît alors comme une prime de risque instantanée

que le marché introduit, et qui dépend du niveau de la richesse de

l'investisseur. Ce point de vue nouveau permet de répondre à la question

de l'interprétation de la volatilité de l'utilité.





Dans la suite, j'étudie le problème dual et je montre que la

transformée de {\em Fenchel} $\tU$ de la fonction concave $U(t,x)$ est un

champ markovien lui aussi satisfaisant la dynamique

\begin{eqnarray}\label{EDPSDuale'}

d\tilde{U}(t,y)=\left[\frac{1}{2\tU_{yy}''}(\|\tilde{\Gamma}'\|^2-\|\prod_{\K_t(-\tU_y'(t,y))\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\|^2) +y\tU_{y}' r_t\right](t,y)dt +\tilde{\Gamma}(t,y)dW_t,~~\tilde{\Gamma}(t,y)=\Gamma(t,\tU_y'(t,y)).

\end{eqnarray}

\`A partir de ce résultat je montre que le problème dual admet une unique solution $Y^*$ dans la volatilté $\nu^*$ est donnée par

\begin{equation}

y\nu^*(t,y)= -\frac{1}{\tU_{yy}''}\Big(\tilde{\Gamma}'+y\eta_t-\prod_{\K_t(-\tU_y')\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\Big)(t,y).

\end{equation}



\noindent

Ce ci permettra d'établir les identités clé suivantes:

\begin{eqnarray}

&Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))=U'_x(t,X^*(t,x)) \label{A}\\

&(\Gamma'_x+U'_x\eta)(t,x)=(xU''(t,x)\pi^*(t,x)\sigma_t+\nu^*(U_x'(t,x))\label{B}.

\end{eqnarray}



% Remarquons que le terme $(\Gamma'_x+U'_x\eta)$ se décompose de manière unique sous forme

% de sa projection sur le cone $\K\sigma$, qui est la stratégie optimale, et la projection sur le cone dual $\K^* \sigma$,

% qui est la volatilité du processus optimal dual. Mais notre but est deux termes projétés su comme la projection

% \'A partir de la première identité nous savons que $U'_x(t,X^*(t,x))$ n'est autre que le processus optimal dual

%\'A ce stade rapellons que le but de cette étude est de carracteriser les utilités progressives.

La question par la suite est la suivante: peut-on caractériser l'utilité $U(t,x)$ pour tout $x>0$ à partir de la première identité?

Ceci peut paraître trop demander car nous cherchons à caractériser le champ $U$ connaissant seulement son comportement le long de l'unique trajectoire optimale $X^*$.

Cependant, la réponse à cette question s'avère être positive et assez simple. En effet, notons par $\Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$,

et supposons que le flot stochastique $X^*$ soit inversible, $\X$ désigne son inverse. Alors, en inversant dans (\ref{A}), je déduis

que $U_x'(t,x)=\Y(t,\X(t,x))$. En intégrant par rapport à $x$, j'obtiens que $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$, ce qui prouve le théorème suivant:

\begin{theo}

Sous des hypothèses de régularités et d'inversion du flot $X^*$, les processus $U$ définis par $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ sont des utilités progressives solutions

de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}).

\end{theo}

%

%\noindent

Inversement, je montre le théorème d'EDP stochastique suivant:

\begin{theo}

Soit $U$ un champ aléatoire solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). En utilisant la décompostion (\ref{B}), si les EDS

suivantes

\begin{eqnarray*}

& dX^*_t(x)=X^*_t(x)(r_tdt+\pi^*(t,X^*_t(x))\sigma_t(dW_t+\eta_tdt)),X^*_0(x)=x ~\\

& dY^*_t(y)=Y^*_t(y)(-r_tdt+\nu^*(t,Y^*_t(y))dW_t),~Y^*_0(y)=y

\end{eqnarray*}

admettent des solutions fortes unique et monotonnes, alors, en notant par $ \Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$ et par $\X$ le flot inverse de $X$, on obtient que $U(t,x)= \int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$.

Si de plus $X^*$ et $Y^*$ sont croissants, $U$ est concave.

\end{theo}



\noindent

%Dans ce travail, je considère toujours un marché incomplet,

Dans une seconde partie de ce travail, je me place dans un cadre beaucoup plus général dans le

sens où les actifs sont supposés être cadlag locallement bornés,

et par conséquent la filtration n'est plus une filtration brownienne. Je remplace les contraintes

de type cône convexe par des contraintes plus générales de type ensemble convexe. Le but de cette partie est de

caractériser toutes les utilités progressives avec le minimum d'hypothèses, notamment avec moins d'hypothèses de régularités

sur les champs aléatoires $U$. Je ne suppose plus que $U$ est deux fois différentiable et par conséquent je ne peut plus appliquer le lemme

d'Itô-Ventzell. L'approche est alors différente: je commence par établir des conditions d'optimalité sur le processus

de richesses optimale ainsi que le processus optimal dual, et ce en utilisant des méthodes d'analyse. En utilisant ces résultats je démontre, par des

éléments d'analyse, la convexité ainsi que les conditions d'optimalités que toutes les utilités progressives générant une richesse croissante est de la forme

$\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ avec $\Y$ : $\Y X$ est une surmartingale pour toute richesse $X$ et une martingale si $X=X^*$.

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